福建质检 • 不动点迭代收敛性

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（建议将微信字体设置到最小后阅读）1001期福建质检 • 不动点迭代收敛性

之所以介绍这篇，是因为在前几天小派的推文中讲的只涉及到不动点，并没有介绍福建2024届高中毕业班适应性练习第19题的背景——不动点迭代收敛性及不动点收敛定理 。 下面这期先讲一下不动点迭代收敛定理，再来用该理论实操一下福建质检第19题.

1、不动点迭代收敛定理

设有如下迭代

并称 为迭代函数

设点 为 的不动点，即 为 方程 的根

若该迭代收敛，迭代函数 必须满足如下不动点收敛定理

【不动点迭代收敛定理】 设迭代函数 在区间 上连续，且满足

① 当 时，；

② 存在一正数 ，满足 ，且 ，有

则有

（1） 方程 在区间 上 内有唯一解

（2） 对于任意初值 ，迭代 均收敛于

（3）

（4） .

证明：

设 ，则 在区间 上连续可导，根据条件 ① ，

由零点存在性定理，方程 在区间 上至少存在一个根（存在性）

根据条件 ② ，  ， 则

则函数 在区间 上单调递增

故方程 在区间 上 内有唯一解 （唯一性）

所以 （1） 得证；

由拉格朗日中值定理

又   ，则

所以

所以 （3） 得证；

由拉格朗日中值定理

又   ，则

所以

（有误，L^n+1）所以 （4） 得证；

因为   ，则

因此对于任意初值 ，迭代 均收敛于

所以 （2） 得证；

注：  条件 ①② 也就是保证 有唯一的不动点 存在 ；另外有关拉格朗日中值定理可以参考小派之前的推文。

下面利用不动点迭代收敛定理解决一下福建质检19题第 （ii） 小问。

2、不动点迭代定理应用

【福建24届毕业班质检T19】 对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点.

已知 ，且 的不动点的集合为 . 以 和 分别表示集合 中的最小元素和最大元素.

（1） 若 ，求 的元素个数及 ；

（2） 当 恰有一个元素时， 的取值集合记为 .

（i） 求 ；

（ii） 若 ，数列 满足 ， 集合 ， 求证：，

解析：

第 （1） 和 （2） （i） 可以参考小派前几天的推文；

另外由作差法和数学归纳法很容易证明数列 单调递减，且

（ii） 该小问即是要证明

设 ，则数列 满足迭代

由 （i） 知， ，

因为 ，记

1）求不动点

方程 等价于

所以 在区间 上单调递减，

有   ，故 在区间 上仅有一个零点，

即 在区间 上仅有一解，即 在区间 上有唯一的不动点

2）判断是否满足条件

令 ，

则 在区间 上单调递增， ，即

则 在区间 上单调递增，

所以

， 在区间 上单调递增

所以

满足不动点收敛定理条件 ①② ，并记  ，则

又  ，则由结论 （4） 得

所以